задачі для учнів 9-А кдасу

Другий рівень

№1

Хорда, довжина якої  , стягує дугу кола, градусна міра якого 90°. Знайдіть довжину кола.

№2

Дві сторони трикутника дорівнюють 6  см і 10 см, а кут проти більшої з них 45°. Знайдіть третю сторону трикутника.

№3

У АВС С = 90°, АС = 8 см, sinA = . Знайдіть довжину гіпотенузи трикутника.

№4

Дано вектори m(-3; 0) і n(-2; 2). Знайдіть кут між векторами  і .

№5

Знайдіть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок А(1; 5) і В(3; 1).

№6

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки 8 см і 5 см, рахуючи від вершини кута при основі. Знайдіть площу трикутника.

№7

Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а інший  — на 8 см менший за гіпотенузу. Знайдіть периметр трикутника.

№8

У паралелограмі ABCD бісектриса кута А ділить сторону ВС на відрізки

 ВК = 3 см, КС = 2 см. Знайдіть периметр паралелограма.

№9

У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Більша бічна сторона і більша основа дорівнюють по 12 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

№10

Сторони трикутника відносяться як 6 : 7 : 8. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, середня за довжиною сторона якого дорівнює 21 см.

 

№11

Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора цього круга дорівнює 20   , а центральний кут, що відповідає цьому сектору, дорівнює 72°.

№12

У трикутнику АВС АС =  см, АВ =  см, ∠В = 45°. Знайдіть кут С.

№13

У ∆АВС ∠С = 90°, tgВ = , АВ = 26 см. Знайдіть довжину меншого катета трикутника.

№14

Модуль вектора (р + 1; -3) дорівнює 5. Знайдіть р.

№15

Точки А(4; -2), В(-6; 10),C(-6;10) — вершини паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини D цього паралелограма.

№16

У прямокутній трапеції менша основа та менша бічна сторона дорівнює 8 см, а більша бічна сторона — 10 см. Знайдіть площу трапеції.

№17

У трикутнику АВС кут С — тупий. ВС = 15 см, АВ = 20 см. ВК — висота трикутника; ВК = 12 см. Знайдіть сторону АС.

№18

Знайдіть тупий кут ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 20°.

 

 

№19

У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює з цією основного кут 30°. Знайдіть гострий кут трапецій.

№20

О — точка перетину діагоналей трапеції АВСD з основами АD і ВС,

АD = 9 см, ВС = 6 см. Знайдіть відрізки DО і ВО, якщо їх різниця дорівнює

 2 см.

№21

Зовнішній кут правильного многокутника становить  внутрішнього. Знайдіть кількість сторін цього многокутника.

№22

Дві сторони трикутника відносяться як 5 : 3, а кут між ними дорівнює 120°. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо його периметр дорівнює 45 см.

№23

У ∆АВС ∠С = 90°, ВС = 6 см, cosA = 0,8. Знайдіть периметр трикутника.

№24

Сторони чотирикутника відносяться як 2 : 3 : 3 : 4. Знайдіть периметр подібного йому чотирикутника, найбільша сторона якого дорівнює 20 см.

 

 

№25

Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А(5; -1), В(-4; 3),

С(6; 1).

№26

У прямокутника перпендикуляр, опущений з вершини на діагональ, поділяє її на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть площу прямокутника.

№27

У прямокутній трапеції більша діагональ дорівнює 15 см, висота — 12 см, а менша основа — 4 см. Знайдіть більшу бічну сторону трапеції.

№28

Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він

 на 70° менший від кута між діагоналями, який лужить проти більшої сторони.

№29

Висота, проведена з вершини тупого кута рівнобічної трапеції, ділить її основу на відрізки 4 см і 6 м. Знайдіть середню лінію трапеції.

№30

Пряма, яка паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає сторони СА і СВ цього трикутника у точках М і N відповідно. АВ = 15 см, MN = 6 см,

АМ = 3 см. Знайдіть довжину сторони АС.

 

 

Третій рівень

№1

Центр кола, описаного навколо трапеції, належить більшій основі. Знайдіть кути трапеції, якщо основи відносяться як 1 : 2.

№2

Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см та одна з діагоналей перпендикулярна до сторони.

№3

Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник ділить катет на відрізки завдовжки 2 см і 3 см, рахуючи від прямого кута. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

№4

Доведіть, що чотирикутник АВСD з вершинами в точках А(3; -1), В(2; 3),

С(-2; 2), D(-1; -2) є прямокутним.

№5

Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут і середню лінію на відрізки 13 см і 23 см. Знайдіть площу трапеції.

 

 

№6

Коло, вписане у прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Знайдіть площу трапеції.

 

 

 

№7

Центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють 5 см і 13 см. Знайдіть периметр трикутника.

№8

З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, різниця між довжинами яких 4 см. Знайдіть ці хорди, якщо радіус кола дорівнює 10 см.

№9

Бісектриса гострого кута паралелограма ділить протилежну сторону у відношенні 3 : 4, рахуючи від вершини тупого кута. Периметр паралелограма дорівнює 80 см. Знайдіть його сторони.

№10

Сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а кут між ними 120°. Знайдіть площу подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 30 см.

№11

Катети прямокутного трикутника відносяться як 20 : 21, а різниця між радіусами описаного та вписаного кіл дорівнюють 17 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

 

№12

Кола, радіуси яких дорівнюють 4 см і 9 см, мають зовнішній дотик. До кіл проведено спільну зовнішню дотичну. Знайдіть відстань між точками дотику.

№13

Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 6 см. Знайдіть периметр трикутника.

№14

Периметр паралелограма дорівнює 26 см, а його діагоналі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайдіть сторони паралелограма.

№15

Довжина кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює . Знайдіть периметр трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 32 см.

 

№16

Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відповідно дорівнює 5 см і 3 см. Знайдіть найбільшу сторону подібного йому трикутника, площа якого дорівнює 54см2.

 

 

№17

Медіани прямокутного трикутника, проведені до катетів, дорівнюють 3 см і

 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

№18

Основи прямокутної трапеції дорівнюють 9 см і 5 см, а діагональ ділить навпіл її гострий кут. Знайдіть площу трапеції.

№19

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 5 см, а бічна сторона

 — 20 см. Знайдіть бісектрису кута при основі трикутника.

№20

Хорда, довжина якої 12 см, перпендикулярна до діаметра кола і ділить його на два відрізки, різниця яких дорівнює 9 см. Знайдіть довжину кола.

№21

Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 14 см, а бічні сторони — 13 см і 15 см.

№22

Доведіть, що чотирикутник АВСD з вершинами в точках А(0; 6), В(5; 7),

С(4; 2) і D(-1; 1) є ромбом.

№23

У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки 8 см і 18 см. Знайдіть периметр трапеції.

 

№24

Точка перетину бісектрис гострих кутів при основі трапеції належить її другій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють

10 см і 17 см, а висота — 8 см.

 

 

№25

 У колі по бік від центра проведено дві паралельні хорди, довжини яких 24 см і 32 см, а відстань між ними 4 см. Знайдіть радіус кола.

№26

У три-ку одна зі сторін дорівнює 29 см, а інша ділиться точкою дотику вписаного в нього кола на відрізки 24 см і 1 см, починаючи від кінця першої сторони. Знайдіть площу трикутника.

№27

Відстань від центра кола, вписаного у рівнобічну трапецію, до кінців бічної сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть довжину вписаного кола.

№28

У паралелограмі гострий кут дорівнює 60 , а діагональ ділить тупий кут у відношенні 3 : 1. Обчисліть периметр паралелограма, якщо його менша діагональ дорівнює  см.

№29

Бісектриса прямого кута прямокутного три-ка ділить гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см. Знайдіть радіус кола, вписаного у три-к.

№30

Основи трапеції дорівнюють 2 см і 18 см, а діагоналі — 15 см і 7 см. Знайдіть площу трапеції.

Четвертий рівень

№1

Сторона три-ка дорівнює 10 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, — 9 см і 12 см. Знайдіть площу три-ка.

№2

Бісектриса кута А три-ка АВС перетинає описане навколо нього коло в точці К. Точка I — центр кола вписаного в трикутник АВС кола. Доведіть, що

 КІ = КВ = КС.

№3

Дано векторі  і , | |= 3, | |= 2, кут між векторами  і  дорівнює 120°. Знайдіть |4  + 3 |.

 

№4

Доведіть, що точка перетину бісектриси кута А три-ка АВС і серединного перпендикуляра до сторони ВС належить колу, описаного навколо три-ка АВС.

№5

Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює h. Знайдіть площу цієї трапеції.

№6

Медіана СМ три-ка АВС дорівнює m і утворює зі сторонами СА і СВ кути  відповідно. Знайдіть сторони СА і СВ.

№7

Числа ma, mb і  mc  виражають довжини медіан деякого три-ка. Доведіть, що коли виконується рівність m 2a  + m2b = 5m2c, то три-к є прямокутним.

№8

Нехай числа ha, hb і hc  виражають довжини висот деякого три-ка і виконується рівність )2 + ( )2 = 1. Доведіть, що трикутник є прямокутним.

№9

Знайдіть площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 1 см і  см, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює 2 см.

№10

Знайдіть рівняння кола, описаного навколо трикутника АВС з вершинами в точках А(2; 9), В(11; 0), С(-5; -4).

№11

Через точку Р діаметра даного кола проведено хорду АВ, що утворює з діаметром 60 . Знайдіть довжину кола, якщо АР = 8 см, ВР = 3 см.

 

 

 

№12

Через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам проведено пряму, що перетинає бічні сторони в точках М і N. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо основи трапеції дорівнюють 7 см і 3 см.

№13

Доведіть, що точку перетину діагоналей трапеції належить прямій, що проходить через середини основ трапеції.

№14

Сторони три-ка дорівнюють 25 см, 29 см і 6 см. Визначте площу шести трикутників, на які розбивається даний трикутник його медіанами.

№15

Доведіть, що відстань від ортоцентра гострокутного трикутника до його вершини удвічі більша за відстань від центра описаного кола до сторони, яка протилежна цій вершині.

№16

Доведіть, що сума квадратів двох сторін три-ка дорівнює подвоєній сумі квадратів половини третьої сторони і медіани, проведеної до цієї сторони.

№17

Медіани три-ка дорівнюють 5 см,  см і  см. Доведіть, що трикутник прямокутний.

№18

Доведіть,що в будь-якому трикутнику сума довжин медіан менша за периметр трикутника.

№19

Сторони паралелограма дорівнюють a і b, а діагоналі  d1 і d2. Відомо, що

a4 + b4 = d21d22. Доведіть, що гострий кут паралелограма дорівнює 45 .

№20

У трикутника АВС проведено медіани BE і CF; точка М – точка перетину медіан. Доведіть, що площі трикутника BMC і чотирикутника  AEMF рівні.

№21

Знайдіть рівняння кола з центром у точці О(1; -2), яке дотикається до прямої 3х – 4у + 9 = 0.

№22

У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 72 , а бісектриса цього кута має довжину ι. Знайдіть довжини сторін трикутника.

№23

Периметр прямокутного трикутника дорівнює 120 см. Знайдіть його сторони, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 24 см.

 

№24

Діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники. Площі трикутників, які прилягають до основ трапеції, дорівнюють n2  і k2. Доведіть, що площа трапеції дорівнює (n + k)2.

 

 

№25

Сторона трикутника дорівнює 15 см, а сума двох інших сторін – 27 см. Знайдіть косинус кута, протилежного даній стороні, якщо радіус кола, вписаного у трикутник, дорівнює 4 см.

№26

Дві сторони три-ка дорівнюють 6 см і 8 см. Медіани, проведені до цих сторін, взаємно перпендикулярні. Знайдіть третю сторону три-ка.

№27

Усередині рівностороннього три-ка позначено довільну точку М, що знаходиться на відстанях b, c і d від сторін три-ка. Доведіть, що висота три-ка дорівнює b + c + d.

№28

Довжини двох сторін гострокутного три-ка дорівнюють   см і  см. Знайдіть довжину третьої сторони, якщо вона дорівнює проведеній до неї висоті.

№29

Дано коло (x – 1)2 + (y + 3)2 = 4.  Знайдіть рівняння кола, центром якого є точка Q(-2; 1), яке дотикається до даного кола.

 

№30

Нехай ha, hb, hcвисота три-ка, r – радіус кола, вписаного у трикутника. Доведіть, що  +  +  = .


 

Подобається